Distribución normal

Distribución normal

  8:22    Julio Ramdar

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Al recolectar los datos de una variable que puede ser continua, como por ejemplo la medición del peso, altura, dimensiones de un producto o una variable discreta cuando establecemos si un producto o servicio es conforme o no, la frecuencia de los datos tiende a acercarse hacia el centro y  si lo representamos gráficamente forma una curva de campana ( Distribución normal).

La variación de los datos se encuentran distribuidos a lo largo de la curva de campana como se puede apreciar en la gráfica anterior, sin embargo una proporción considerable de los datos tienden a centrarse en la gráfica.

Esta característica especial nos indica que en general cuando analizamos una muestra de datos significativa, todos tienden a acercarse  a una medida central, que nos permitirá entender el comportamiento de la variable.

La distribución normal tiene como elementos principales a la media y la desviación estándar.

La media (μ) es una medida de tendencia central , que representa el promedio de todos los datos del estudio.

La desviación estándar ( σ ) representa la dispersíón de los datos , es decir nos da una idea de cuánto puede variar alrededor de la media  los datos.

La notación que se suele utilizar para representar una distribución normal es la siguiente: N ( μ ,  σ )

Para establecer el rango de datos que puede variar nuestra medida central que representa a una población, en estadística se utiliza los niveles de confianza:

 +/ - 1σ  representa un nivel de confianza del 68% 

 +/ - 2σ  representa un nivel de confianza del 95%

 +/ - 3σ  representa un nivel de confianza del 99.7% 

 

Como se puede apreciar en la gráfica anterior para hallar el rango que representa nuestra dispersión de datos se resta y se suma la desviación estándar a la media poblacional.

A continuación, para desarrollar los conceptos que se están tratando se resolverá el siguiente ejercicio.

Los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

b) Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

Para empezar a resolver la pregunta "a" , desarrollaremos el concepto del estadístico Z.

Como pudieron apreciar en la curva de campana de la primera gráfica se observa que la medida central de los datos es cero y alrededor del mismo se distribuyen los datos.

En realidad el estadístico Z lo que hace es estandarizar los datos para que tengan una media = 0 y el Z de los datos en sí represente el número de desviaciones estándar que puede estar ubicado detrás o delante de la media.

Z = (observación - media ) / ( Desviación estándar ) 

a) En tal caso resolviendo: 

Z = ( 72 - 78 ) / 6  = - 1

Como podemos observar se está evaluando la calificación de 72 respecto de la media que es 78.

El problema nos da como dato la varianza que es 36 , para hallar la desviación estándar solo se deberá calcular la raíz cuadrada.

El valor de Z obtenido es -1.

Ahora vamos a calcular la probabilidad que representa este valor de Z respecto a nuestra distribución para poder contestar a la pregunta:

p ( x > 72 ) =  P ( Z > -1) 

Observando nuestra tabla Z acumulada podemos determinar el porcentaje:

Para nuestro caso p( Z > -1 ) =  1 - P (Z <= - 1)  =   P ( Z <= 1)

 

p ( x > 72 ) =  P ( Z > -1)  = 0.841

Es decir hay una probabilidad de  84.1 % de que un estudiante obtenga una calificación superior a 72.

b)  La probabilidad de que los resultados del examen sean mayor a 84 , si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor a 72.

P ( x > 84 / x > 72) = ?

Primero calcularemos: 

P ( x > 84) 

Z = ( 84 - 78 ) / 6 = 1

es decir P ( x > 84)  = P (Z > 1) = 1 - P (Z < = 1),

Observando nuestra tabla Z acumulado podemos observar que P ( Z <= 1) = 0.841

Entonces la P (Z >1) = 1- 0.841 = 0.159

 Ahora aplicamos teorema de Bayes:

P (A / B ) = P (A y B ) / P (B)

P (x > 84 / x > 72 ) = P ( x > 84 y  x > 72 ) / P (x > 72) 

Resolviendo :

La intersección de  P ( x > 84 y  x > 72 ) = P (x > 84)

P (x > 84 / x > 72 ) = P ( x  > 84 ) / P ( x > 72) = 0.159 / 0.841 = 0.189

Por tanto concluimos que la probabilidad de que un estudiante supere la puntuación de 84 , sabiendo que el resultado de un estudiante es mayor a 72 es 18.9 %