Six Sigma - Fase Medir Caso Nro. 2

Six Sigma - Fase Medir Caso Nro. 2

  14:47    Julio Ramdar

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Se desarrollará la fase de Medición de la metodologia Six Sigma en el siguiente ejemplo:

Caso Nro 2: Se desea que la resistencia de un artículo sea de por lo menos 300 psi. Para verificar que se cumple con tal característica de calidad, se hacen pequeñas inspecciones periódicas y los datos se registran en una carta X-S . El tamaño de subgrupo que se ha usado es de 3 artículos , que son tomados de manera consecutiva cada 2 horas. Los datos de los últimos 30 subgrupos se muestran a continuación: 

1. Calculo del DPMO ( Defectos por millón de oportunidades)

DPMO = (Nro. total de Defectos x 1´000,000) / ( Nro. de Unidades x Nro. Oportunidades)

Se considera como defecto la resistencia del artículo menor a 300 psi.
Se ha identificado un artículo defectuoso en la muestra 10.
Se considera una oportunidad dado que se considera  un solo tipo de defecto para el artículo.

DPMO = (1 x 1'000,000) / (90 x 1) =  11,111 defectos por millón de oportunidades


2. Cálculo del valor Sigma

 Para obtener el parámetro de estandarización Z , se debe calcular el rendimiento del proceso.

1- DPMO = 0.9889

Utilizando la fórmula del programa excel o tablas de probabilidades determinamos el valor de Z

Fórmula de excel:  "=INV.NORM.ESTAND (0.9889)"
El resultado es Z = 2.29

El valor sigma es : Z + 1.5 = 3.79


Por tanto  para un proceso que tiene un  rendimiento del 98.89% , tiene un nivel  de 3.79σ, que equivale a 11,111 defectos por millón de oportunidades.

Ahora que tenemos definido el nivel sigma del proceso se determinará los límites de control para asegurar que el proceso es estable , requisito necesario para posteriormente establecer mejoras.

3. Establecer la carta de control

De acuerdo a la información que se ha obtenido en las muestras corresponden utilizar la carta de control por variables X-S

Para ello en este caso se desarrollará la carta de control con el programa Minitab.

- En primer lugar se registran los datos tomados en cada muestra.

- Luego se selecciona la opción de carta de control X-S

- Seleccionar la opción que indica que las observaciones para un subgrupo están en una fila de columnas.

-Seleccionar el botón Opciones de X barra S  y en la pestaña estimar seleccionamos la opción Sbarra.

- En la pestaña Pruebas seleccionar la opción Realizar todas las pruebas para causas especiales.

- Luego aceptar para generar la carta de control X-S

Como se puede apreciar existe un punto en la carta de control X que está fuera de los límites , en este caso se sugiere dos alternativas, tomando en cuenta que esta gráfica sirve para establecer en principio los límites de control del proceso, en condiciones normales.

- Alternativa 1: Generar  la carta de control omitiendo el punto que está por encima del Limites de control superior ( LCS) . Asumiendo que este punto se debe a una causa especial.

- Alternativa 2: Volver a tomar los datos para a partir de allí generar la carta de control X-S , validando que todos los puntos este dentro de los límites de control.


Para nuestro aplicaremos la alternativa 1. Por tanto en minitab se procede de la siguiente manera.

Se inicia nuevamente el proceso para generar la carta de control X- S en Minitab , la única diferencia será que en la pestaña Estimar se deberá colocar el # del punto que está fuera de control para excluirlo.

A continuación se muestra la carta de control X-S con los límites de control que serán considerados para monitorear el proceso.

Interpretación:

Carta de control X , nos revela que la resistencia esperada del artículo  debe estar entre 302 y 338.17 psi

Carta de Control S, indica que la variación del proceso es 23.77 psi como máximo.


4. Calcular la capacidad del proceso

Retomando el enunciado del caso estudio , solo nos indican que la resistencia del artículo debe ser por lo menos 300 psi, es decir solo cuenta con el límite de especificación inferior (LEI).

Para este caso solo se calculará el Indice Cpk

Cpk = (X - LEI) / 3S

Nota: Los datos a reemplazar los podemos obtener de las cartas de control.

Cpk =  (320.09 - 300 ) / (3* 9.25)

Cpk = 0.72

Interpretación:

Cpk < 1 , el proceso no es capaz de cumplir con la especificación.

Se sugiere reducir la variabilidad del proceso para cumplir con la meta.

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Prueba de Hipótesis: Pena de Muerte

Prueba de Hipótesis: Pena de Muerte

  14:00    Julio Ramdar

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Un científico social cree que la fracción p1 de miembros del partido A que apoyan la pena de muerte es mayor que la fracción p2 de miembros del partido B que apoyan la pena de muerte.

Al tomar muestras independientes de 200 del partido A  y 200 del partido B , encontró que 46 y 34 respectivamente apoyan la pena de muerte.

¿Proporciona esta evidencia apoyo estadístico  a la información del científico? ( Considere un nivel de significancia α= 0.05)

En primer lugar se debe validar que los datos se aproximan a una distribución normal. ( teorema del límite central)

- Los datos son independientes
- Se debe cumplir :   nP >= 10    , n (1-P) >= 10

Para hallar la proporción  (P) de las dos muestras se aplica la siguiente fórmula:

P= (46 + 34) / (200 + 200 ) = 0.2

(200 ) ( 0.2 ) = 40   ,   40 >= 10

(200) (1-0.2) = 160 , 160 > = 10

Se verifica que se cumple la condición.


- Formulación de hipótesis:

Ho = p1 - p2 = 0  ( La hipótesis nula indica que no existe diferencia entre la proporción del partido A y B respecto a la pena de muerte)

H1 = p1 - p2  < > 0   ( La hipótesis alternativa sostiene que existe diferencia entre las proporciones del partido A y B que están a favor de la pena de muerte)

- Cálculo del estadístico Z

p1 = 46 / 200 = 0.23

p2 = 34 / 200 = 0.17

p1 - p2 = 0.23 - 0.17  = 0.06


Error estándar = √ {(P (1-P ) / n1 +    P(1-P) / n2 }

Error estándar =  √ { 0.2 (0.8) / 200  + 0.2(0.8) / 200 } = 0.04

Z = (Estimador Puntual - Media  ) / Error Estándar

Z = (0.06 - 0 ) / 0.04

Z= 1.5


- Ubicamos el estadístico calculado en la curva normal.  ( Gráfico de dos colas)

Interpretación:

p < α , rechaza la hipótesis nula
p  >  α  , acepta la hipótesis nula

   0.134 > 0.05 , se acepta la hipótesis nula , es decir no existe suficiente evidencia para afirmar que existe diferencia entre la fracción del partido A y B que están a favor de la pena de muerte.

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Evaluación Económica de Proyectos de Mejora

Evaluación Económica de Proyectos de Mejora

  14:13    Julio Ramdar

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Existen  infinidad de casos en nuestra vida laboral y cotidiana donde debemos decidir sobre invertir o no sobre la compra de un producto , pagar una maestría , invertir en un proyecto de negocios , mejorar las condiciones de vida de nuestro hogar,etc.

Muchas decisiones son tomadas en base a criterios subjetivos  y no se apoyan en herramientas cuantitativas. Es cierto que mucho ayuda la experiencia de la persona sobre una materia para tomar la decisión correcta , sin embargo mientras el dinero a invertir sea mayor existe un mayor  costo de oportunidad que tendrá que asumir una persona u organización y en ese caso es preferible apoyar la decisión final con una herramienta cuantitativa.

Para explicar las diferentes alternativas de evaluación de un proyecto , es importante entender el concepto del valor del dinero a través del tiempo.

Se debe comprender que el dinero gana cierto interés cuando se invierte en un periodo dado. En otras palabras si recibimos en un año USD 100 , valdrá menos que recibir USD 100 hoy mismo y por tanto es allí donde se introduce el concepto de interés como rendimiento del dinero.

Esto usualmente se observa claramente cuando se realizan préstamos en un banco donde a una determinada tasa de interés se cobra al usuario en el periodo acordado.

Cuando se presentan iniciativas o proyectos de mejora que demandan una inversión importante es necesario evaluar el rendimiento del proyecto  para decidir implementarlo o no.

Interés Simple e Interés Compuesto

Es necesario entender la aplicación de estos conceptos previamente para luego establecer las fórmulas que se utilizarán para evaluar proyectos.

Si nos prestan USD 1500 a un interés del 30 %  anual.

La cantidad a pagar al final de dos años sería: 

Caso 1: Interés simple

F= 1500 + 1500* (1 +0.3)*2 =  USD 2400

Caso 2: Interés Compuesto

F=  1500 *(1+ 0.3) ^2 = USD  2535

Este último caso es aplicado por los bancos , es decir los intereses a su vez generan intereses y es el que aplicaremos para la evaluación de proyectos de mejora.

Fórmulas de matemática financiera

Donde:

F= Valor final

P= Valor Presente

i= tasa de interés

n= periodo

A= anualidad

Valor Final :        F = P*(1+ i)^n

Valor Presente:   P= F / (1+ i) ^n

Valor final de una serie uniforme de flujos de efectivo :   F = A *( (1+i)^n  - 1 ) / i

Valor Presente de una serie uniforme de flujos efectivo:  P = A * (( 1+ i) ^n  - 1) /  i (1+i)^n

Anualidad : A = F * i / ( (1+i)^n  - 1 )

               
                  A= P* (i* (1+i)^n) / (( 1+ i) ^n  - 1)

A continuación se desarrollará el siguiente ejercicio:

Ejercicio Nro 1:

Se tiene en cuenta los siguiente información de un proyecto:

Inversión :           USD  323,063

Valor Residual:   USD  115,585

Año    Beneficio Esperado (USD)

1          64.613

2          67.843

3          71.237 
4         69.258

5          55.406

6          44.325

( No incluye costos financieros ni impuestos a las utilidades)

El proyecto se financiará con un préstamo equivalente al 60% de la inversión inicial en 5 cuotas anuales iguales, a una tasa del 10% anual. El impuesto a las utilidades es de 20% . Los costos anuales de depreciación se consideran no más del 70% de la inversión inicial repartido en 5 cuotas iguales.

Evaluar el proyecto considerando que la tasa de costo de capital pertinente para el inversionista sea 6 % anual .

*  En primer lugar para facilitar los cálculos se determinará los intereses del préstamo.

Se toma en cuenta que el 60% de la inversión es financiada mediante préstamos es decir:

0.6 * 323,063 =  USD 193,838

La tasa de interes que nos cobrará el banco en un periodo de 5 años es 10% segun datos del problema, entonces para calcular los intereses anuales se determinará en primer lugar las cuotas anuales.

Para hallar la anualidad se recurrirá a la siguiente fórmula ya revisada anteriormente.

   A= P* (i* (1+i)^n) / (( 1+ i) ^n  - 1)

Reemplazando datos:

A = 193,838 *( (1 +0.1)^5) / ((1+0,1)^5  - 1)

A=  USD 51,134

Es decir cada año se deberá pagar esta cuota al banco hasta completar el periodo.

Ahora con esta información se armará el cuadro de amortización para determinar los intereses de la deuda.

Los intereses para cada año estan resaltados en amarillo segun la tabla mostrada .
Para hallar la columna de intereses , en primer lugar se debe tomar en cuenta el capital pendiente que debemos en el año 0, en este caso 193,838.

A partir del año 1 se considera las cuotas anuales hasta el año 5.
En el caso del año 1 se tiene una cuota anual de 51,134 . El interes se calcula multiplicando 0.1 ( tasa del banco) por el capital pendiente en el año 0 , el resultado es el interés del año 1 es decir 19,384.
Para calcular la amortización del año 1 se resta la cuota anual y el interes hallado del mismo periodo.

Ahora nuestro capital pendiente sería la diferencia entre 193,838 y la amortizacion del año 1 lo cual da un resultado de 162,088. Se continúa el mismo procedimiento hasta que el capital pendiente sea cero.


* Elaborar un estado de ganancias y pérdidas para determinar el monto de impuestos para cada año

En este caso para construir el estado de ganancias y pérdidas se considera los beneficios de cada año indicados en el problema.
Luego se debe restar la depreciación , que nos indican que equivale al 70% de la inversión inicial repartido en cinco cuotas. Es decir  (0.7* 323,063) / 5 =  USD 45,229

Los intereses de la deuda ya están calculados en el paso anterior , luego sumando se obtiene la utilidad antes de impuestos y finalmente se calcula el impuesto del 20 % del valor de la utilidad.


* Elaborar un Flujo de caja

Con los resultados obtenidos podemos ahora elaborar un flujo de caja.

Simplemente se ha llevado todos los datos al cuadro mostrado, donde se observa en el año 0 la inversión inicial , en la segunda fila el valor residual al final del periodo. Los beneficios del proyecto , los impuestos obtenidos en el paso anterior, las cuotas anuales de la deuda. Totalizando cada columna se obtienen los flujos para cada periodo.


* Ahora corresponde realizar la evaluacion económica del proyecto mediante indicadores de rentabilidad.
Los datos a utilizar serán los flujos anuales hallados en el flujo de caja.

En primer lugar se calcular el VAN ( Valor Actual Neto ) o VPN ( valor presente neto).

Para ello podemos utilizar la fórmula de actualización de flujos al año 0   ó simplemente en nuestro programa de excel podemos utilizar la formula  = VNA ( 0.0 6 , flujo 1 , flujo 2 .... ) - flujo 0

0.06  representa la tasa de rendimiento del inversionista segun datos del problema
La fórmula lo que hace es actualizar todos los flujos al año 0 , es por eso que el flujo 0 no está dentro de la fórmula porque precisamente corresponde al año 0.

VAN =  USD 32,671 , es el resultado del indicado obtenido

Interpretación:

VAN >0 se acepta el proyecto  ( El proyecto producira ganancias )
VAN =0  ( El proyecto no producirá ganancias ni pérdidas)
VAN <0  Se rechaza el proyecto ( El proyecto producirá pérdidas)

En este caso el VAN es positivo y por lo tanto se acepta que el proyecto se ejecute.

Sin embargo es recomendable evaluar el proyecto con dos o mas indicadores financieros.

Por tanto ahora se evaluará el proyecto con el indicador TIR  ( tasa interna de retorno)

Para hallar la TIR en excel simplemente se aplicará la siguiente fórmula    =  TIR ( flujo 0 , flujo 1,....)

TIR = 11% 

Interpretación

TIR >=  Tasa del inversionista , se acepta el proyecto
TIR < Tasa del inversionista  , entonces se rechaza el proyecto

La tasa de rendimiento del inversionista es 6 % segun datos del problema, por tanto

TIR > 6 %
Se acepta el proyecto dado que la tasa de rendimiento es mayor a la tasa de rendimiento del inversionista.

En conclusión dado que dos indicadores arrojan resultados favorables podemos recomendar que el proyecto se ejecute dado que generará beneficios.

 

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Metodología Six Sigma: Fase de Medición

Metodología Six Sigma: Fase de Medición

  14:33    Julio Ramdar

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La metodología Six Sigma nace de la necesidad de reducir la variación de los procesos que tiene un impacto directo en la reducción de costos y en la productividad de la organización, con la finalidad de obtener un producto o servicio que cumpla con los requerimientos del cliente.
Six Sigma (6σ) busca reducir los defectos a un nivel óptimo 3.4 defectos por millón de oportunidades , es decir un rendimiento del proceso del 99.999 %.

En sí esta metodología se alinea con el ciclo de mejora continua de Deming ( PDCA) , pero apoyándose con herramientas estadísticas que permitan medir , mejorar y monitorear los procesos clave que tienen impacto relevante en la satisfacción del cliente.

Las fases de la Metodología Six Sigma son cinco :

• Definir
• Medir
• Analizar
• Mejorar 
• Controlar

Las fases tienen una relación cíclica, es decir una vez implementada la mejora , no termina la labor allí , todo lo contrario el nuevo estado del proceso se convierte en la situación actual, el cual es nuevamente susceptible de mejora.

En esta ocasión me ocuparé de desarrollar la fase de medición utilizando el siguiente ejemplo:

En una empresa en la que se fabrican tapas metálicas para bebidas gaseosas, un aspecto importante es la cantidad de PVC que lleva cada tapa, el cual determina el espesor de la película que hace que la bebida quede bien cerrada. El peso de los gránulos de PVC debe estar entre 212 y 218mg. Si el peso es menor a 212, entonces, entre otras cosas, la película es muy delgada y eso puede causar fugas de gas en la bebida. Pero si el peso es mayor a 218g, entonces se gasta mucho PVC y aumentan los costos. Para asegurar que se cumple con las especificaciones, de manera ordinaria se usa una carta de control: cada 30 minutos se toma una muestra de cuatro gránulos consecutivos de PVC y se pesan. En la siguiente tabla se muestran las últimas 25 medias y los rangos obtenidos del proceso.

1. En primer lugar se determinará el nivel de calidad Sigma del proceso:


Supuestos:
- Con fines ilustrativos consideraremos dos defectos encontrados en 100 unidades ( Considerando que hay 25 submuestras de tamaño 4).
- Los defectos  correspondería a las submuestras 7 y 9 ,  que en  promedio originan que se desvíe de la tolerancia [212,218 ] mg.
- Considerando que se está evaluando un solo tipo de defecto en relación al peso. Se considerará el número de oportunidades igual a 1 , es decir la posibilidad de encontrar un solo defecto por cada unidad producida.


Se procederá a calcular el DPMO ( Cantidad de defectos por millón de oportunidades)

DPMO = (Nro. total de Defectos x 1´000,000) / ( Nro. de Unidades x Nro. Oportunidades)

DPMO = ( 2 x 1'000,000 ) / ( 100 x 1) =  20,000 defectos por millón de oportunidades.

Con esta información se procede a calcular el parámetro de estandarización Z , considerando el rendimiento del proceso.

Rendimiento del Proceso = 1-  (DPMO / 1000000) = 1- 0.02 = 0.98
Para el parámetro Z equivalente a 0.98 podemos utilizar la fórmula de la distribución normal estándar ( Excel) o tablas.

Utilizando el excel la fórmula sería: "= INV.NORM.ESTAND (0.98)"
El resultado es Z= 2.05

El valor  Sigma es : Z + 1.5 = 2.05 + 1.5 = 3.55

Por tanto  para un proceso que tiene un  rendimiento del 98% , tiene un nivel  de 3.55σ, que equivale a 20,000 defectos por millón de oportunidades.

Ahora que tenemos definido el nivel sigma del proceso se determinará los límites de control para asegurar que el proceso es estable , requisito necesario para posteriormente establecer mejoras.

2. Establecer la carta de control

De acuerdo a la información que se ha obtenido en las muestras corresponden utilizar la carta de control por variables X-R

Los límites de control para la carta X

LCI = X - A2*R

LCS= X + A2*R

X sería la media de medias, de las 25 submuestras que equivale a 215.41
R sería la media de los rangos que equivale a 2.14
A2= 0.729 para el caso del tamaño de muestra igual a 4.

LCI = 215.41 - 0.729*2.14= 213.85
LCS= 215.41 + 0.729*2.14= 216.97

Con la información calculada y los datos de las muestras se grafica la carta de control X

Interpretación:
El peso promedio esperado de los gránulos de PVC en condiciones normales debería ser entre 213.85 y 216.97 mg
Sin embargo se observa que hay varios puntos claramente fuera de control , muy posiblemente por causas asignables.

Los límites de control para la carta R:

LCI= D3*R

LCS= D4*R

R es la media de los rangos de las muestras tomadas. (R=2.14)
D3 = 0 y  D4 = 2.282 para el caso de tamaño de muestra igual a cuatro.

LCI = 0*2.14= 0
LCS = 2.282* 2.14 = 4.88

A continuación se muestra el gráfico de la carta de control R

Interpretación:
La variación esperada del rango  debe ser menor a 4.88 mg.
En este caso todos los puntos están bajo control.

De acuerdo a la carta de control X el proceso no es estable por lo se debería en primer lugar identificar la causa que origina que el proceso esté fuera de control. Un vez eliminado la causa asignable se debería volver  a colectar los datos para verificar la estabilidad del proceso y establecer los límites de control.

Para efectos de continuar con la siguiente etapa , se omitirán los puntos fuera de control de la gráfica X (2, 6,7,9,14,18,21,22,23)  por tanto se recalcularán los limites de carta de control X y R con los datos que quedan:

Carta de Control X

LCI = X - A2*R

LCS= X + A2*R


LCI = 214.18 - 0.729*1.98= 212.74
LCS= 214.18 + 0.729*1.98= 215.62

Carta de Control R

LCI= D3*R

LCS= D4*R
LCI = 0*1.98= 0
LCS = 2.282* 1.98 = 4.52

Tomando en consideración que todos los puntos están bajo control podemos afirmar que el proceso es estable y susceptible de mejora.
Por tanto corresponde determinar si el proceso como tal es capaz de cumplir con las especificaciones.
Para ello se calculará el índice de Capacidad del Proceso.

3. Indice de Capacidad del Proceso

Se calculará en primer lugar el Cp ( Capacidad del proceso)

Capacidad del Proceso = ( Limite Especificación superior - Limite Especificación Inferior ) / 6S

Por datos del problema sabemos que el peso de los gránulos de PVC debe estar entre 212 y 218mg, entonces:

Para este caso usaremos la fórmula S = R/ d2      
(d2 para muestra de tamaño 4 es obtenido de la tabla de constantes para gráficos de control)
Desviación estandar : S= 1.98 / 2.059  = 0.96


Cp= (218 - 212) / (6*0.96) = 1.04

Interpretación:

El resultado demuestra que el Cp > 1,  por tanto podemos afirmar que la variación del proceso es menor a la tolerancia de la tapa, lo cual es favorable.


A continuación se calculará el Cpk

Cpk = Mínimo { ( LES - X) / 3S , (X- LEI) / 3S}

Cpk =  Mínimo { (218 - 214.18) / 3*0.96  , (214.18- 212) / 3*0.96 }

Cpk= Mínimo { 1.33 , 0.76}

Cpk = 0.76

Intepretación:

El resultado demuestra Cpk < Cp ,  podemos afirmar que el proceso no está centrado  y por tanto no cumple a cabalidad con la especificación del cliente.

Se sugiere revisar aquellos factores en la  fabricación de tapas que ocasionan que el proceso se desvíe de la meta .

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Prueba de Hipótesis: Consumidores de cigarrillo

Prueba de Hipótesis: Consumidores de cigarrillo

  15:17    Julio Ramdar

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Se realizó un experimento para estimar el efecto de fumar sobre la presión sanguínea de un grupo de 25 fumadores de cigarrillos en edad universitaria. Para cada participante se midió la diferencia en la presión sanguínea entre el momento de graduarse y 5 años más tarde. El aumento medio muestral en milímetros de mercurio fue de X= 10 . La desviación estándar muestral es de S= 6


Prueba la hipótesis de que el aumento medio en la presión sanguinea es de 5mm de mercurio contra la alternativa de que es mayor que 5mm . Utilizar un nivel significancia de α = 0.05

Solución


En primer lugar se tiene en cuenta que el tamaño de la muestra (n) es menor a 30, segundo no conocemos la desviación estándar de la población. Por tanto el estadístico adecuado para evaluar la hipótesis es t.

- Formulación de la Hipótesis:

H0: µ = 5    ( La hipótesis nula sostiene que el aumento medio de la presión sanguinea es igual a 5 mm Hg )
H1: µ > 5   ( La hipótesis alternativa sostiene que el aumento medio de la presión sanguinea en la población es mayor a 5 mm Hg)

- Calcular el estadístico t

t= (x - µ) / (S / √n) = (10 -5) / (6 /√25)=  4.17

Grados de Libertad: n-1 = 25-1 = 24

- Ubicamos el parámetro calculado en la curva  t- student

Como se puede apreciar p = 0.000171 ≈ 0  el cual es menor al nivel de significancia (α = 0.05)
 Cuando p < α  Rechaza la hipótesis nula.

Por tanto tenemos la evidencia para afirmar que  el consumo de cigarrillo en la población de edad universitaria despues de cinco años aumenta en más de 5 mm Hg la presión sanguinea.

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