Prueba de Hipótesis para proporciones

Prueba de Hipótesis para proporciones

  8:08    Julio Ramdar

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A continuación se desarrollará un ejemplo ilustrativo donde se aplicará la prueba de hipótesis para comparar dos muestras , utilizando la herramienta Minitab y se interpretarán los resultados obtenidos.

Ejercicio Nro 1

La Administración de una tienda cree sobre la base de una investigación que el porcentaje de hombres que visitan sus tiendas 9 a más veces al mes ( clientes frecuentes), es mayor que el porcentaje de mujeres que hacen lo mismo.

Para probar esta información se toma  una muestra de clientes hombres (n= 45)  y se determina que la proporción de hombres que visitan 9 a mas veces la tienda al mes es un  58% del total , luego se toma una muestra de mujeres (n= 71)  y se determina que la proporción de clientes frecuentes es  del 42% del total.

Paso 1:

En primer lugar se determinará que la información obtenida se aproxima a una distribución normal para cada muestra y que es representativa para establecer conclusiones sobre la población.

- Se asume que los datos obtenidos para cada muestra son independientes. ( Es decir no están sujetos a ninguna distorsión o manipulación de la información).

- Que el tamaño de cada muestra es menor al 10% del tamaño de la población objeto de estudio.

- Se verifica que  que nP >= 10 , n(1-P) >= 10 

Para hallar el valor de P ( proporción ponderada)

P = (# Exitos 1 + # Existos 2) / (n1 +n2)
P= (26 + 30) / ( 45 +71)
P= 0.48

Para el caso de la muestra de hombres se verifica que:

(45) (0.48)= 21.6  y (45)(1-0.48) = 23.4  , ambas son mayores a 10

Para el caso de la muestra de mujeres se verifica que:

(71)(0.48) = 34.08   y (71)(1-0.48) = 36.92 , ambas son mayores a 10



Paso 2:

Se establece la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:

 p1: Proporcion de Hombres que son clientes frecuentes
p2: Proporcion de Mujeres que son clientes frecuentes.

Ho :   p1 - p2 = 0    ( La proporción de hombres y mujeres que son clientes frecuentes es la misma)
H1:    p1 -p2 > 0     ( La proporción de hombres que son clientes frecuentes es mayor a la proporción de mujeres)


Paso 3:

En el programa Minitab ingresamos al menú Estadísticas\ Estadísticas Básicas\ 2 Proporciones

Luego nos aparece una ventana y elegimos la opción Datos resumidos y llenamos los datos de ambas muestras en Eventos ( La cantidad de clientes frecuentes) y en Ensayos ( La cantidad de la muestra )

Hacemos click en el botón de Opciones y elegimos el nivel de confianza de la prueba de 95% ( Aparece por defecto) y en la hipótesis alterna elegimos mayor que y activamos la opción " Utilice el cálculo agrupado de p" que hace referencia a la proporción ponderada".

Luego aceptamos y nos aparecerá el siguiente resultado :

Interpretación:

Tenemos dos formas de interpretar esta información:

Interpretación I

Para un nivel de confianza del 95% ( alpha = 0.05) , el valor de Z es 1.64

De acuerdo al programa minitab el valor de Z de nuestra prueba de hipótesis es 1. 63

El Z de nuestra prueba es menor que el Z del nivel de confianza , es decir está en la zona de aceptación, por lo tanto se concluye que no hay suficiente evidencia para afirmar que la proporción de hombre que son clientes frecuentes es mayor a la proporción de mujeres.



Interpretación II.

La mayoría de programas estadísticos arrojan el valor p , que se interpreta de la siguiente manera:

Si p < alpha , se rechaza la hipotesis nula  y se acepta la hipótesis alternativa
Si p> alpha , se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hiótesis alternativa.

Considerando que alpha = 0.05 para nuestra prueba .
El programa nos indica que p = 0.052 , por tanto p > 0.05
Concluimos que no existe suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula . Es decir no hay una diferencia significativa entre la proporción de hombres y mujeres que son clientes frecuentes.

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Revisión Documental - Auditoría Inicial de Certificación ISO 9001

Revisión Documental - Auditoría Inicial de Certificación ISO 9001

  8:59    Julio Ramdar

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En la actualidad todas las empresas adoptan la filosofía de Gestión de la Calidad no como un requisito a cumplir , sino mas bien como una herramienta indispensable para lograr alcanzar el éxito en sus negocios y seguir siendo competitivos en el mercado.

La nueva versión de la Norma ISO 9001:2015 , fomenta una mayor participación de los integrantes de la organización liderados por la Dirección,  para lograr alcanzar los objetivos estratégicos planteados a partir del análisis del contexto de la organización.

Si antes algunas organizaciones se permitían considerar el Sistema de Gestión de Calidad (SGC) como una herramienta excluida del Plan estratégico. Hoy la norma exige que el plan estratégico sea revisado dentro del Sistema.

Los clientes demandan que los productos o servicios le brinden la confianza que son aptos para su uso y que cumplen los requisitos para los que fueron solicitados. 

La filosofía de Toyota nos evoca la idea de estandarización de los procesos. Por lo que las empresas para asegurar que tienen un sistema de gestión de la calidad debidamente implementado y que es eficaz pasa por un proceso de certificación de la norma ISO.

Para lo cual debe pasar por una Auditoría Inicial de Certificación que consta de dos partes:

- La primera parte es documental.

- La Segunda parte la auditoría de implementación del Sistema.

En este apartado nos concentraremos en la parte documental, específicamente en la revisión de documentos.

La norma ISO 9001 llama a todos los documentos y registros que apoyan a los procesos de la organización y /o forman parte del SGC como Información Documentada.

Los auditores de una casa certificadora , deberán revisar previamente toda la información documentada de la organización , la norma demanda la existencia de  documentos y un total de 21 registros.

Documentos

Es toda aquella información documentada que es necesario que se mantenga para dar soporte al Sistema de Gestión de la Calidad.

- Alcance del SGC, que establece cuales son las áreas , procesos, que incluye la organización dentro de su sistema. Este es un requisito que debe tener la empresa declarado y documentado. Dado a conocer a toda la organización.

- Política de Calidad, documento aprobado por la dirección , que declara fielmente cuales son los lineamientos de la organizacion con respecto a su sistema y su compromiso con la mejora continua.

Este documento debe esta disponible para todos los integrantes de la organización.

- Objetivos de la Calidad, deben estar declarados en un documento y deben ser medibles,  como parte del proceso de planificación de la Calidad. Este documento tambien debe ser publicado.

- Información documentada que apoye a los procesos, en este caso hablamos de los procedimientos , instructivos, manuales y todo aquel documento que nos ayude a entender cuales son los pasos que debemos seguir para lograr un desempeño óptimo de nuestros procesos.

Registros

Es toda información documentada que se conserva y contiene todos los resultados de un proceso específico , es decir es una herramienta que nos permite verificar si el proceso marcha bien , por lo tanto se convierte en una evidencia de la auditoría de certificación ya que nos revela si se ejecutan o no las medidas establecidas por la organización.

1. Requisito 7.1.5.1 ( Recursos de Seguimiento y Medición) . Registros que evidencien que los instrumentos de medición son aptos para el uso que le ha establecido la organización. Registros  que evidencien la verificación o calibración de los instrumentos vs patrones adoptados  antes de su uso así como la trazabilidad de las mediciones tomadas en el proceso.

2. Requisitos 7.2 ( Competencias) , Registros que contengan los requisitos de educación, experiencia y otros elementos que considere la organización para establecer que una persona reúne las condiciones para desempeñarse en un puesto de trabajo.

3.Requisito 7.5 ( Información documentada ) , registros establecidos por la organización que nos permita verificar que los procesos se están llevando a cabo según lo planeado.

4. Requisito 8.1 ( Planificación y control operacional) , registros que evidencien que los productos y servicios son conformes y las acciones tomadas en caso de que el producto o servicio no cumpla con los requisitos ( control de riesgos).

5. Requisito 8.2.3 (Revisión de Requisitos del cliente) , Registro que contenga los resultados de la revisión de los requisitos establecidos por parte del cliente.

6. Requisito 8.3.2 (Planificación de las etapas del diseño y desarrollo).Registro que evidencie que se han llevado a cabo cada una de las fases establecidas en el proceso de diseño y desarrollo.

7. Requisito 8.3.3 ( Elementos de entrada del diseño y desarrollo) . Registro que declare cuales han sido los input del proceso de diseño y desarrollo.

8. Requisitos 8.3.4 ( Revision del diseño y desarrollo). Registro que evidencie los resultados de la verificación ( Requisitos funcionales) y validación ( Aptitud  para su uso) de un producto o servicio potencial.

9. Requisito 8.3.5 ( Salidas del diseño y desarrollo). Registro que evidencie los resultados del proceso de diseño y desarrollo.

10. Requisito 8.3.6 ( Cambios del diseño y desarrollo). Registro que evidencie cualquier cambio que no estaba previsto en el proceso inicial de diseño y desarrollo.

11. Requisito 8.4.1 ( Control de los productos y servicios suministrados externamente). Registro que evidencie la ejecución de los controles establecidos para evaluar , aprobar , moniterear y realizar ajustes si fuera el caso a nuestros proveedores externos.

12. Requisito 8.5.1 ( Control de la producción o prestación del servicio). Registro que evidencie los controles establecidos para asegurar que la producción o prestación del servicio reúne las condiciones para lograr un óptimo desempeño del proceso.

13. Requisitos 8.5.2 ( Identificación y trazabilidad). Registro que evidencie que la organización tiene establecido como identificar de inicio a fin el recorrido de un producto o servicio en los diferentes procesos, de tal manera que el auditor puede tener acceso a la historia de un producto o servicio determinado.

14. Requisito 8.5.3 ( Propiedad perteneciente a clientes o proveedores) . Registro que evidencie que la información confidencial de los clientes se encuentra debidamente custodiada por la organización.

15. Requisito 8.5.6 ( Control de cambios). Registro que evidencie si el producto o servicio ha sufrido algun cambio en el proceso respecto al diseño que se tenía establecido.

16. Requisito 8.6 ( Liberación del producto o servicio). Registro que evidencie que el producto o servicio fue aprobado por un directivo de la organización para su salida al mercado considerando que se ha cumplido con los requisitos y/o se han aprobado los cambios del producto o servicio.

17. Requisito 8.7 (  Control de salidas no conformes). Registro que evidencie el tratamiento de aquellos productos o servicios que no cumplieron los requisitos establecidos , es decir cuales fueron las medidas que se adoptaron y los resultados.

18. Requisito 9.1.1 ( Evaluación de la satisfacción del cliente). Registro que evidencie los métodos utilizados y resultados de la evaluación de la satisfacción del cliente.

19. Requisito 9.2.2 ( Auditoria Interna) . Registro que evidencie el proceso de auditoria interna y las conclusiones de la auditoría.

20. Requisito 9.3.3 ( Revisión por la dirección). Registro que evidencie todo el analisis de los elementos de entrada de la revisión ( Desempeño de los procesos, retroalimentación del cliente, acciones correctivas, resultados de auditorías, seguimientos de acciones tomadas en revisiones anteriores, etc.) y las medidas adoptadas por parte de la dirección para mejorar el SGC y alcanzar los objetivos planteados.

21. Requisito 10.2.2.( Salidas no conformes y Acción Correctiva). registro que evidencie las acciones correctivas tomadas por la organización en caso de identificar una no conformidad y si amerita su análisis dado que tiene un impacto en el SGC.

Una vez comprado que la organización dispone de toda la información documentada que exige la norma , el Auditor utilizará esta información para elaborar un plan de Auditoría y preparar los documentos de trabajo que sean necesarios para la realización de la misma.

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Estadística Descriptiva

Estadística Descriptiva

  9:56    Julio Ramdar

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A continuación se va a desarrollar un ejemplo utilizando la herramienta Excel para obtener información estadística a partir de un conjunto de datos e interpretar los resultados de la información.

Se debe aclarar la estadística descriptiva se caracteriza por establecer conclusiones a partir de un conjunto de datos extraído de la población.

Ejemplo:

Tenemos las ventas mensuales de cinco años de la empresa BURAN S.A.C., conforme se muestra en la siguiente tabla , expresado en unidades monetarias (UM):

 

En excel debemos activar la opción de Análisis de Datos , para ello se deberá seguir la siguiente secuencia:

 

En excel 2016, Ir al menú Archivo y hacer click en Opciones,  les aparecerá la siguiente pantalla:

Luego elegir la opción Complementos  y hacer click en el botón Ir...  , les aparecerá la siguiente ventana , colocar check en Herramientas para análisis y con ello se podrá visualizar en el menú datos la opción Análisis de Datos.

A partir de aquí podemos utilizar la herramienta Análisis de Datos , nos vamos al menú Datos y activamos la opción Análisis de Datos, elegimos la opción Estadística Descriptiva.

Luego seleccionamos el rango de datos y realizamos un check a la opción Resumen de Estadísticas y finalmente damos en aceptar y nos brindará la siguiente información:

Interpretación

- En promedio las ventas mensuales serán de 68,650 UM. Que sería nuestro parámetro poblacional.

- La mediana es de 68,000 UM . Este resultado se ubica exactamente en el centro de mis datos. Lo que significa que el 50% de mis datos tendrán valores  por encima y/o debajo de este parámetro.

- La moda es de 66,000 UM, lo que significa que la mayoría de ventas que se han realizado en el mes han sido de 66,000 UM

- La desviación estándar nos indica el grado de precisión de nuestro parámetro poblacional que en este caso es 4189.67

- El coeficiente de curtosis  es mayor a 1 , por lo tanto la dispersión de los datos de nuestra distribución normal  se asemeja a una curva de campana esbelta.

- El coeficiente de asimetría,  es mayor a 0 por lo que nos indica que nuestros datos ligeramente están sesgados a la derecha.

- El valor mínimo de las ventas mensuales fue de 60,000 UM

- El valor máximo de las ventas mensuales fue de 81,000 UM

- El rango de las ventas es de 21,000 UM.

- Para nuestro caso el error típico no aplica puesto que estamos utilizando todos los datos de la población.

Se considera este estadístico cuando se utiliza una muestra representativa y se quiere evaluar el grado de error de nuestros datos que representan a la población.

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Distribución normal

Distribución normal

  8:22    Julio Ramdar

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Al recolectar los datos de una variable que puede ser continua, como por ejemplo la medición del peso, altura, dimensiones de un producto o una variable discreta cuando establecemos si un producto o servicio es conforme o no, la frecuencia de los datos tiende a acercarse hacia el centro y  si lo representamos gráficamente forma una curva de campana ( Distribución normal).

La variación de los datos se encuentran distribuidos a lo largo de la curva de campana como se puede apreciar en la gráfica anterior, sin embargo una proporción considerable de los datos tienden a centrarse en la gráfica.

Esta característica especial nos indica que en general cuando analizamos una muestra de datos significativa, todos tienden a acercarse  a una medida central, que nos permitirá entender el comportamiento de la variable.

La distribución normal tiene como elementos principales a la media y la desviación estándar.

La media (μ) es una medida de tendencia central , que representa el promedio de todos los datos del estudio.

La desviación estándar ( σ ) representa la dispersíón de los datos , es decir nos da una idea de cuánto puede variar alrededor de la media  los datos.

La notación que se suele utilizar para representar una distribución normal es la siguiente: N ( μ ,  σ )

Para establecer el rango de datos que puede variar nuestra medida central que representa a una población, en estadística se utiliza los niveles de confianza:

 +/ - 1σ  representa un nivel de confianza del 68% 

 +/ - 2σ  representa un nivel de confianza del 95%

 +/ - 3σ  representa un nivel de confianza del 99.7% 

 

Como se puede apreciar en la gráfica anterior para hallar el rango que representa nuestra dispersión de datos se resta y se suma la desviación estándar a la media poblacional.

A continuación, para desarrollar los conceptos que se están tratando se resolverá el siguiente ejercicio.

Los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

b) Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

Para empezar a resolver la pregunta "a" , desarrollaremos el concepto del estadístico Z.

Como pudieron apreciar en la curva de campana de la primera gráfica se observa que la medida central de los datos es cero y alrededor del mismo se distribuyen los datos.

En realidad el estadístico Z lo que hace es estandarizar los datos para que tengan una media = 0 y el Z de los datos en sí represente el número de desviaciones estándar que puede estar ubicado detrás o delante de la media.

Z = (observación - media ) / ( Desviación estándar ) 

a) En tal caso resolviendo: 

Z = ( 72 - 78 ) / 6  = - 1

Como podemos observar se está evaluando la calificación de 72 respecto de la media que es 78.

El problema nos da como dato la varianza que es 36 , para hallar la desviación estándar solo se deberá calcular la raíz cuadrada.

El valor de Z obtenido es -1.

Ahora vamos a calcular la probabilidad que representa este valor de Z respecto a nuestra distribución para poder contestar a la pregunta:

p ( x > 72 ) =  P ( Z > -1) 

Observando nuestra tabla Z acumulada podemos determinar el porcentaje:

Para nuestro caso p( Z > -1 ) =  1 - P (Z <= - 1)  =   P ( Z <= 1)

 

p ( x > 72 ) =  P ( Z > -1)  = 0.841

Es decir hay una probabilidad de  84.1 % de que un estudiante obtenga una calificación superior a 72.

b)  La probabilidad de que los resultados del examen sean mayor a 84 , si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor a 72.

P ( x > 84 / x > 72) = ?

Primero calcularemos: 

P ( x > 84) 

Z = ( 84 - 78 ) / 6 = 1

es decir P ( x > 84)  = P (Z > 1) = 1 - P (Z < = 1),

Observando nuestra tabla Z acumulado podemos observar que P ( Z <= 1) = 0.841

Entonces la P (Z >1) = 1- 0.841 = 0.159

 Ahora aplicamos teorema de Bayes:

P (A / B ) = P (A y B ) / P (B)

P (x > 84 / x > 72 ) = P ( x > 84 y  x > 72 ) / P (x > 72) 

Resolviendo :

La intersección de  P ( x > 84 y  x > 72 ) = P (x > 84)

P (x > 84 / x > 72 ) = P ( x  > 84 ) / P ( x > 72) = 0.159 / 0.841 = 0.189

Por tanto concluimos que la probabilidad de que un estudiante supere la puntuación de 84 , sabiendo que el resultado de un estudiante es mayor a 72 es 18.9 %

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